题目内容

19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2-4ax（a≠0）的对称轴交抛物线于A点，交x轴于C点，且AC=OC．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P为第一象限内抛物线y=ax2-4ax（a≠0）上一点，若点Q（m，-m-2）是坐标平面内一点，PQ⊥AO，当PQ=7$\sqrt{2}$时，求P点坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线PD交x轴于点D，点E为x轴上方对称轴右侧抛物线的一个动点，射线AE交PD于点F，若∠CAE=2∠PEF时，求AF的长．

分析 （1）先求得抛物线的对称轴方程，然后依据AC=OC可得到点A的坐标，将点A的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值；
（2）先求得点Q所在直线的解析式，然后证明OA∥点Q所在的直线，过点P作PD∥x轴，先证明△PQD为等腰直角三角形，然后可求得DP的长，设点P的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t2-2t），可求得点D的坐标，然后依据DP=14列方程求解即可；
（3）设点E的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t2-2t）．然后求得直线AE的解析式，然后再求得点F的坐标，接下来，证明PF=EF，然后依据PF=EF列出关于t的方程可求得t的值，从而得到点F的坐标，最后依据两点间的距离公式可求得AF的值．

解答 解：（1）抛物线的对称轴为x=-$\frac{-4a}{2a}$=2，
∴C（2，0）．
∴OC=2．
∵AC=OC，
∴AC=2．
∴A（2，-2）．
将点A的坐标代入抛物线的解析式得：4a-8a=-2，解得：-4a=-2，解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-2x．

（2）如图1所示：

设点Q的坐标为（x，y）．
∵Q（m，-m-2），
∴x=m，y=-m-2，
将x=m代入y=-m-2得：y=-x-2，
∴点Q在直线y=-x-2上．
过点P作PD∥x轴，交y=-x-2与点D．
设OA的解析式为y=kx，将点A的坐标代入得：2k=-2，解得k=-1，
∴直线OA的解析式为y=-x，
∴OA∥QD．
∴PQ⊥DQ．
∴△DPQ为等腰直角三角形．
∴DP=$\sqrt{2}$QP=14．
设点P的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t2-2t），则点D的纵坐标为$\frac{1}{2}$t2-2t．
将y=$\frac{1}{2}$t2-2t代入y=-x-2得-x-2=$\frac{1}{2}$t2-2t，解得：x=-$\frac{1}{2}$t2+2t-2．
∴点D的纵坐标为-$\frac{1}{2}$t2+2t-2．
∴PD=t-（-$\frac{1}{2}$t2+2t-2）=14，解得：t=6或t=-4（舍去）．
∴点P的坐标为（6，6）．

（3）如图2所示：

设点E的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t2-2t）．设直线AE的解析式为y=kx+b，将点E和点A的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{tk+b=\frac{1}{2}{t}^{2}-2t}\\{2k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$（t-2），b=-t，则直线AE的解析式为y=$\frac{1}{2}$（t-2）x-t．
将x=6代入得：y=2t-6．
∴F（6，2t-6）．
∵AC∥DF，
∴∠ACF=∠AFD．
又∵∠CAE=2∠PEF，
∴∠EFD=2∠PEF．
∴∠PEF=∠EPF．
∴PF=EF，即6-（2t-6）=$\sqrt{（6-x）^{2}+（6-\frac{1}{2}{t}^{2}+2t）^{2}}$，整理得：（6-t）2[（t-2）2-6]=0，
解得：t=$\sqrt{6}$+2或t=-$\sqrt{6}$+2（舍去）或t=0（舍去）．
当t=$\sqrt{6}$+2时，F（6，2$\sqrt{6}$-2）．
∴AF=$\sqrt{（6-2）^{2}+（2\sqrt{6}-2+2）^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得点A的坐标是解答问题（1）的关键，得到三角形PDQ为等腰直角三角形，然后依据PD=14列出关于t的方程是解答问题（2）的关键，证得FP=FE，然后据此列出关于t的方程是解答问题（3）的关键．

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