Question

1．求证：无论k为何值，y²+2xy-x²+2x-2ky+k²+1都不能分解成两个一次因式的乘积．

Answer 1

分析 运用反证法，假设结论成立，即为（ax+by+e）（cx+dy+f），展开式子对比探讨得出答案即可．

解答 证明：运用反证法，假设结论成立，即为（ax+by+e）（cx+dy+f）
展开式得 
（ax+by+e）（cx+dy+f）=acx²+bdy²+（af+ce）x+（ad+bc）xy+（bf+de）y+ef
由原式原式可知
ac=-1①
bd=1②
af+ce=2③
bc+ad=-2④
bf+de=-2k⑤
ef=k²+1⑥
由②、⑥式得d=$\frac{1}{b}$，e=$\frac{1}{f}$（k²+1）
将d、e分别带入5式 得
bf+（k²+1）$\frac{1}{bf}$=-2k
整理得到
（bf+k）²=-1无解，
故原假设不成立，
故无论k为何值，y²+2xy-x²+2x-2ky+k²+1不能分解为两个一次因式的乘积．

点评 此题考查了因式分解d的实际运用，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解本题的关键．