Question

5．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=$\frac{4}{3}$x+4分别交x轴、y轴于点A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′．
（1）求直线A′B′的解析式；
（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据一次函数的解析式求出AB两点的坐标，再由图形旋转的性质求出A′、B′的坐标，用待定系数法求出直线A′B′的解析式即可；
（2）直接根据A′、B、C的坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可．

解答 解：（1）∵令x=0，则y=4，令y=0，则x=-3，
∴A（-3，0），B（0，4），
由图形旋转的性质可知，A′（ 0，3），B′（ 4，0），
设过A′（ 0，3），B′（ 4，0）的解析式为y=kx+b（k≠0）
则$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故此直线的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+3；

（2）∵过A′，B′两点的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+3}\\{y=\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{12}{25}}\\{y=\frac{84}{25}}\end{array}\right.$，
∴C（-$\frac{12}{25}$，-$\frac{84}{25}$），
∴S_△A’BC=$\frac{1}{2}$|A′B|×|x_C|=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{12}{25}$=$\frac{6}{25}$．

点评 本题考查的是一次函数的图象与及几何变换、一次函数的性质及三角形的面积公式，根据题意求出直线A′B′的解析式是解答此题的关键．