Question

2．为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益p（元）会相应降低且满足：p=-$\frac{1}{5}$x+110（x≥0）．
（1）在政府补贴政策实施后，求出该商场销售彩电台数y与政府补贴款额x之间的函数关系式；
（2）在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？
（3）要使该商场销售彩电的总收益最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，可设y=kx+b，将（100，1000），（200，1400）代入上式，即可解决问题．
（2）分别求出销售台数，每台的利润，即可解决问题．
（3）构建二次函数，然后利用配方法确定函数最值问题．

解答 解：（1）根据题意，可设y=kx+b
将（100，1000），（200，1400）代入上式，得：$\left\{\begin{array}{l}100k+b=1000\\ 200k+b=1400\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=4\\ b=600\end{array}\right.$，
故所求作的函数关系式为：y=4x+600．
（2）∵在y=4x+600中，当x=0时，y=600，
在$p=-\frac{1}{5}x+110$中，当x=0时，p=110
∴600×110=66000
答：在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为66000元．
（3）设总收益为W元，则
W=$（4x+600）（-\frac{1}{5}x+110）$
=$-\frac{4}{5}{x^2}+320x+66000$
=$-\frac{4}{5}{（x-200）^2}+98000$
∵$a=-\frac{4}{5}＜0$，
∴W存在最大值，
∴当x=200时W有最大值98000．
答：政府应将每台补贴款额定为200元时，可获得最大利润98000元．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是搞清楚销售量、利润、销售数量之间的关系，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．