题目内容
17．如图1，抛物线l1：y=-x2+2x+3与x轴的正半轴和y轴分别交于点A，B，顶点为C，直线BC交x轴于点D．（1）直接写出点A和C的坐标；
（2）把抛物线l1沿直线BC方向平移，使平移后的抛物线l2经过点A，点E为其顶点．求抛物线l2的解析式，并在图1中画出其大致图象，标出点E的位置；在x轴上是否存在点P，使△CEP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注：该步若要用到备用图，则不要求再画出抛物线l2的大致图象）
分析 （1）令y=0可求得点A的坐标，然后依据配方法和顶点坐标公式可求得抛物线的顶点C的坐标；
（2）先求得点B的坐标，然后再利用待定系数法求得BC的解析式，直线BC的解析式可设E（a，a+3），则l2的解析式为y=-（x-a）2+a+3，接下来，将点A的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到抛物线l2的解析式；将∠P1CE=90°时，先求得CP1的解析式，从而可求得点P1的坐标，同理可求得P2的坐标；如图3所示：以CE为直径作圆G，过点G作GF⊥x轴，垂足为F．先求得FG与CE的长，然后根据d和r的关系可求得圆G与x轴的位置关系，可判断△CP3E不为直角三角形．
解答 解：（1）∵令y=0得：x2-2x-3=0，即（x-3）（x+1）=0，解得：x1=-1，x2=3，
∴点A的坐标为（3，0）．
∵y=-x2+2x+3=-（x2-2x）+3=-（x2-2x+1-1）+3=-（x-1）2+4，
∴点C（1，4）．
（2）设直线CD的解析式为y=kx+b．
∵CD经过点C（1，4）、B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得；$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直线CD解析式为y=x+3．
∵抛物线l2由抛物线l1沿直线BC方向平移得到，
∴顶点E在直线BC上．
设E（a，a+3），则抛物线l2的解析式为y=-（x-a）2+a+3．
∵抛物线l2过点A（3，0），
∴-（3-a）2+a+3=0．解得：a1=6，a2=1（舍去）．
∴抛物线l2的解析式为y=-（x-6）2+9=-x2+12x-27．
抛物线l2的大致图象如图1所示．
如图2所示：将∠P1CE=90°时，
设直线CP1的解析式为y=kx+b．
∵CP1⊥BC，
∴k=-1．
∴y=-x+b．
∵将点C（1，4）代入得：-1+b=4．解得b=5，
∴直线CP1的解析式为y=-x+5．
令y=0得；-x+5=0，解得x=5，
∴点P1的坐标为（5，0）．
设直线EP2的解析式为y=-x+b．
∵将点E（6，9）代入得：-6+b=9，解得：b=15，
∴直线EP2的解析式为y=-x+15．
∵令y=0得：-x+15=0，解得：x=15，
∴点P2的坐标为（15，0）．
如图3所示：以CE为直径作圆G，过点G作GF⊥x轴，垂足为F．
∵C（1，4），E（6，9），
∴G（3.5，6.5）．
∴GF=6.5．
∵由两点间的距离公式可知CE=$\sqrt{（6-1）^{2}+（9-4）^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
∴r=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∵d＞r，
∴圆G与x轴相离．
∴∠CP3E＜90°，此时不能构成直角三角形．
综上所述，点P的坐标为（5，0）或（15，0）．
点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、直线和圆的位置关系、两点间的距离公式，分类讨论是解题的关键．
百年学典课时学练测系列答案
如图，已知A（2$\sqrt{3}$，2）、B（2$\sqrt{3}$，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转90°，到达△A′B′O的位置，则图中图形ABB′A′的周长为$\frac{\sqrt{13}}{2}$π+2π+2．
为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益p（元）会相应降低且满足：p=-$\frac{1}{5}$x+110（x≥0）．
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |