Question

5．如图，在△ABC中，AB=BC=10，tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，点P是边BC上的一点，在线段AP上取点M，将线段PM绕点P顺时针旋转90°得线段PN．设BP=t．
（1）如图1，当点P在点B，点M是AP中点时，试求AN的长；
（2）如图2，当$\frac{PM}{MA}$=$\frac{1}{3}$时．
①求点N到BC边的距离（用含t的代数式表示）；
②当点P从点B运动至点C时，试求点N运动路径的长．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形中的勾股定理进行解答即可；
（2）①分0≤t≤6和6≤t≤10两种情况，利用相似三角形进行解答；
②利用勾股定理进行计算即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ABN=90°，AB=10，
∴BN=BM=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴AN=$\sqrt{1{0}^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{5}$；
（2）①（Ⅰ）当0≤t≤6时（如图1）

过点A作AE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F．
∵∠AEP=∠PFN=90°，∠APF+∠FPN=90°，∠APF+∠PAE=90°，
∴∠PAE=∠FPN，
∴△APE～△PNF，
∵$\frac{PM}{MA}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{PF}{AE}=\frac{FN}{PE}=\frac{PN}{AP}=\frac{1}{4}$，
∴DN=$\frac{1}{4}（6-t）=\frac{3}{2}-\frac{1}{4}t$；
（Ⅱ）当6≤t≤10时，
同理可得：DN=$\frac{1}{4}（t-6）=\frac{1}{4}t-\frac{3}{2}$；
②（如图2）点N的运动路径是一条线段，

当P与O重合时，$FN=\frac{3}{2}$，PF=2，
当P与C重合时，F′N′=1，PF′=2，
∴点N的路径长$N{N}^{'}=\sqrt{1{0}^{2}+（1+\frac{3}{2}）^{2}}=\frac{5}{2}\sqrt{17}$．

点评 此题考查几何变换问题，关键是根据相似三角形的性质和勾股定理进行分析．