Question

14．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E．
（1）用尺规作CF⊥BD于点F（要求保留作图痕迹，不要求写作法与证明）；
（2）求证：AE=CF．

Answer 1

分析 （1）以C为圆心，大于AE长为半径画弧，分别交BD于点M，N两点，再分别以M，N为圆心，以大于$\frac{1}{2}$MN为半径画弧，交于点G，连接CG并延长，交BD于点F，即可得CF⊥BD于点F；
（2）由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，可得∠AEO=∠CFO=90°，又由在平行四边形ABCD中，OA=OC，即可利用AAS，判定△AOE≌△COF，继而证得结论．

解答 解：（1）如图，①以C为圆心，大于AE长为半径画弧，分别交BD于点M，N两点，
②再分别以M，N为圆心，以大于$\frac{1}{2}$MN为半径画弧，交于点G，
③连接CG并延长，交BD于点F，
即CF为所求；

（2）∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF．

点评 本题主要考查较简单的尺规作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．注意证得△AOE≌△COF是关键．