Question

15．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．
（1）求证：△CDE∽△CAB；
（2）求证：DE=BD；
（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由圆内接四边形的性质得出∠CED=∠CBA，再由公共角相等，即可证出△CDE∽△CAB；
（2）由等腰三角形的性质得出∠C=∠CBA，证出∠C=∠CED，得出DE=CD，再由圆周角定理和三线合一性质得出CD=BD，即可得出DE=BD；
（3）由割线定理求出CE，由圆周角定理得出∠AEB=∠BEC=90°，根据勾股定理即可求出BE的长．

解答 （1）证明：连接AD，如图所示：
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠CED=∠CBA，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB；
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA，
∴∠C=∠CED，
∴DE=CD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴CD=BD，
∴DE=BD；
（3）解：由割线定理得：CE•AC=CD•BC，
∵CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，AC=AB=5，
∴CE=$\frac{CD•BC}{AC}$=$\frac{3×6}{5}$=$\frac{18}{5}$，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{18}{5}）^{2}}$=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、割线定理、勾股定理；本题有一定难度，特别是（2）（3）中，需要运用圆周角定理、割线定理和勾股定理才能得出结果．