Question

20．如图，已知：△ABC中，M为BC边的中点，O为AM上一点，BO的延长线交AC于点D，CO延长线交AB于点E，PQ∥BC，且PQ过点O与AB、AC分别交于P和点Q，求证：
（1）PO=OQ；
（2）DE∥BC．

Answer 1

分析 （1）根据平行线分线段成比例定理3得出PO：MB=AO：AM，OQ：MC=AO：AM，由MB=MC，得出PO=OQ；
（2）根据平行线分线段成比例定理3得出PO：BC=EO：EC，OQ：BC=DO：BD，等量代换得到EO：EC=DO：BD，然后根据平行线分线段成比例定理2得出DE∥BC．

解答 证明：（1）∵PQ∥BC，PO∥BM，OQ∥MC，
∴PO：MB=AO：AM，OQ：MC=AO：AM，
∴OP：BM=OQ：CM，
∵MB=MC，
∴PO=OQ．

（2）∵PO∥BC，OQ∥BC，
∴PO：BC=EO：EC，OQ：BC=DO：BD，
∴EO：EC=DO：BD，
∴DE∥BC．

点评 本题主要考查了根据平行线分线段成比例定理，难度适中．
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．