Question

5．如图，AC∥BD，AD和BC相交于点E，EF∥AC交AB于点F，且AE=p，BD=q，EF=r．
（1）试证：$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}$．
（2）图中AC=20，BD=80，试求EF的值．

Answer 1

分析 （1）由AC∥BD，EF∥AC，得到EF∥BD，根据平行线分线段成比例得到$\frac{EF}{AC}=\frac{BF}{AB}$，$\frac{EF}{BD}$=$\frac{AF}{AB}$，两式相加得到$\frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD}=\frac{BF}{AB}+\frac{AF}{AB}$=1，即可得到结论；
（2）由（1）知$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}$=$\frac{1}{EF}$，代入数据即可得到结果．

解答 （1）证明：∵AC∥BD，EF∥AC，
∴EF∥BD，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BF}{AB}$，$\frac{EF}{BD}$=$\frac{AF}{AB}$，
∴$\frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD}=\frac{BF}{AB}+\frac{AF}{AB}$=1，
∴$\frac{r}{p}+\frac{r}{q}=1$，
∴$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}$；

（2）解：由（1）知$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}$=$\frac{1}{EF}$，
∵AC=20，BD=80，
∴EF=16．

点评 本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．