Question

如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD，AB到E，F使DE=BF=

1

2

CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH．
（1）求证：BH=DG；
（2）求证：四边形AGCH为平行四边形；
（3）求

S△EDG

S△ECH

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形性质得出∠ABC=∠CDA，AB∥CD，推出∠FBH=∠EDG，∠F=∠E，证出△FBH≌△EDG即可；
（2）求出CH=AG，CH∥AG，根据平行四边形的判定推出即可；
（3）根据相似三角形的性质和判定求出即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠CDA，AB∥CD，
∴∠FBH=∠EDG，∠F=∠E，
在△FBH和△EDG中

∠F=∠E BF=DE ∠FBH=∠EDG

∴△FBH≌△EDG，
∴BH=DG；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD，
∵BH=DG，
∴CH=AG，CH∥AG，
∴四边形AGCH为平行四边形；

（3）解：∵DE=

1

2

CD，
∴

DE

EC

=

1

2+1

=

1

3

∵BC∥AD，
∴△EDG∽△ECH，
∴

S△EDG

S△ECH

=（

ED

EC

）²=（

1

2+1

）²=

1

9

．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题目综合性比强．