Question

7．已知：y=ax²-4ax交x轴于O、A两点，对称轴交x轴于点E，顶点为点D，若△AOD的面积为4．点P是x轴上方抛物线上一动点，作PH⊥x轴，垂足为H，连接PA，作直线HQ⊥PA交y轴于点Q，
（1）求a的值．
（2）在点P运动过程中，连接QD，若∠PAO=∠QDE，求HE的长度．
（3）点Q关于AP的对称点为点K，若2HA=$\sqrt{10}$QH，求点P的坐标及KE的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形面积公式求出点D坐标，然后代入抛物线解析式即可求出a．
（2）如图1中，设点P（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m），求出直线PA，HQ的解析式，得到点Q坐标（0，-2），根据tan∠QDE=tan∠PAO=$\frac{1}{2}$，列出方程即可解决问题．
（3）设QH交PA于点F，作FN⊥AO于N，由△OQH∽△FAH，以及在RT△OQH中利用勾股定理，想办法求出点F、点K坐标即可解决问题．

解答 解：（1）令y=0，则ax²-4ax=0，x=0或4．
∴$\frac{1}{2}$•OA•DE=4，
∴DE=2，
∴点D坐标（2，2）代入y=ax²-4ax，2=4a-8a，
∴a=-$\frac{1}{2}$．
（2）如图1中，由（1）可知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x，设点P（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m），
设直线PA为y=kx+b，把P（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m），A（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=-\frac{1}{2}{m}^{2}+2m}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}m}\\{b=2m}\end{array}\right.$，
∴直线PA为y=-$\frac{1}{2}$mx+2m，
∵直线QH⊥PA，设直线HQ为y=$\frac{2}{m}$x+b′，把H（m，0）代入得，b′=-2，
∴OQ=2，
∴tan∠QDE=tan∠PAO=$\frac{1}{2}$，
∴4-m=2（-$\frac{1}{2}$m²+2m）   m₁=1，m₂=4（舍）  
∴HE=1．
（3）设QH交PA于点F，作FN⊥AO于N．
∵∠HFA=∠HOQ，∠OHQ=∠FHA，
∴△OQH∽△FAH，
∴AF：OQ=AH：QH=$\sqrt{10}$：2，
∴AF=$\sqrt{10}$，设HQ=x，则AH=$\frac{\sqrt{10}}{2}$x，
在RT△OHQ中，2²+（4-$\frac{\sqrt{10}}{2}$x）²=x，解得x=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$（或2$\sqrt{10}$舍弃不合题意），
∴AH=$\frac{10}{3}$，OH=$\frac{2}{3}$，FH=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$•FH•FA=$\frac{1}{2}$•AH•FN，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{10}}{3}$×$\sqrt{10}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$×FN，
∴FN=1，HN=$\sqrt{F{H}^{2}-F{N}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∵点F坐标（1，1），点Q（0，-2）
又∵K、Q关于点F对称，
∴点K坐标（2，4），
∵点E坐标（2，0）
∴KE=4．

点评 本题考查二次函数、一次函数的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会利用相似三角形的性质求线段，掌握利用面积法求高，记住中点坐标公式，属于中考压轴题．