Question

已知四边形ACBD，若AD∥BC，且DB=AC，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：EG=

1

2

（BC-AD）．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：证明题

分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，连接CD，延长EG到CD上一点N，利用三角形的中位线定理进行证明即可．

解答：解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF=

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2

CD，FG=

1

2

AB，GH=

1

2

CD，HE=

1

2

AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵AD∥BC，E，G分别为BD，AC中点，
∴连接CD，延长EG到CD上一点N，
∴EN=

1

2

BC，GN=

1

2

AD，
∴EG=

1

2

（BC-AD）．

点评：本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．