Question

2．如图，直线OC、BC的函数关系式为y=x与y=-2x+6，点P（t，0）是线段OB上一动点，过P作直线l与x轴垂直．
（1）求点C的坐标；
（2）设△BOC中位于直线l左侧部分面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，直线l平分△COB的面积．

Answer 1

分析 （1）联立两函数解析式可求得C点坐标；
（2）过C作CD⊥x轴于点D，当点P在点D左侧时，设直线l与OC交于点Q，S=S_△OPQ，当点P在点D右侧时，设直线l与BC交于点Q，则S=S_△OBC-S_△BPQ，再根据三角形的面积公式可求得S与t的关系式；
（3）由（2）分两种情况分别根据S=$\frac{1}{2}$S_△OBC，可求得t的值．

解答 解：
（1）联立两函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C点坐标为（2，2）；
（2）在y=-2x+6中，令y=0可得x=3，
∴B（3，0），
过C作CD⊥x轴于点D，
当点P在点D左侧时，即0≤t＜2时，设直线l与OC交于点Q，如图1，

则OP=t，
当x=t时，代入直线OC解析式可得y=t，
∴PQ=t，
∴S=S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OP•PQ=$\frac{1}{2}$t²；
当点P在点D右侧时，即2≤t≤3时，设直线l与BC交于点Q，如图2，

则OP=t，PB=OB-OP=3-t，
当x=t时，代入直线BC解析式可得y=-2t+6，
∴PQ=-2t+6，
∴S=S_△OBC-S_△PBQ=$\frac{1}{2}$OB•CD-$\frac{1}{2}$PB•PQ=$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$（3-t）（-2t+6）=-（t-3）²+3；
综上可知S与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}（0≤t＜2）}\\{-（t-3）^{2}+3（2≤t≤3）}\end{array}\right.$；
（3）当0≤t＜2时，由题意可知S=$\frac{1}{2}$S_△OBC，
∴$\frac{1}{2}$t²=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3×2，解得t=$\sqrt{3}$或t=-$\sqrt{3}$（舍去）；
当2≤t≤3是，由题意可知S=$\frac{1}{2}$S_△OBC，
∴-（t-3）²+3=$\frac{1}{2}$×3，解得t=3±$\frac{\sqrt{6}}{2}$（舍去）；
综上可知当t的值为$\sqrt{3}$时，直线l把△COB的面积平分．

点评 本题主要考查直线的交点问题，在（1）中注意交点的求法，在（2）中分两种情况是解题的关键．