Question

6．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB=150°，∠ABC=45°，延长OB到D，使BD=OB，连结CD．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若CD=6，求图中阴影部分（弓形BC劣弧所对）的面积．（结果保留π和根号）

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理进而得出∠COB=∠AOB-∠AOC=60°，进而得出△COB是等边三角形，再利用等腰三角形的性质得出∠OCD=90°，即可得出答案；
（2）直接利用S_阴影=S_扇形OBC-S_△OBC，进而得出答案．

解答 （1）证明：如图1，连接OC，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
又∵∠AOB=150°，
∴∠COB=∠AOB-∠AOC=60°，
∵OC=OB，
∴△COB是等边三角形，
∴BC=OB，∠OBC=∠OCB=60°，
∵BD=OB，
∴BC=BD，
∴∠BCD=∠D=$\frac{1}{2}$∠OBC=30°，
∴∠OCD=90°，
∴CD与⊙O相切；

（2）解：如图2，作OE⊥BC于点E，
在Rt△OCD中
∵tan∠D=$\frac{OC}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OCE中，OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=3，
S_阴影=S_扇形OBC-S_△OBC，
=$\frac{60π×O{C}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×BC•EO，
=2π-3$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了切线的判定以及等边三角形的性质与判定、勾股定理、扇形面积求法等知识，正确得出扇形OBC的面积是解题关键．