Question

11．观察下列各式：
①$\sqrt{2-\frac{2}{5}}$=$\sqrt{\frac{8}{5}}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$；
②$\sqrt{3-\frac{3}{10}}$=$\sqrt{\frac{27}{10}}$=3$\sqrt{\frac{3}{10}}$；
③$\sqrt{4-\frac{4}{17}}$=$\sqrt{\frac{64}{17}}$=4$\sqrt{\frac{4}{17}}$．
（1）根据你发现的规律填空：
$\sqrt{5-\frac{5}{26}}$=$\sqrt{\frac{125}{26}}$=5$\sqrt{\frac{5}{26}}$；
（2）猜想$\sqrt{n-\frac{n}{{n}^{2}+1}}$（n≥2，n为自然数）等于什么，并通过计算证实你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据已知3个等式的规律解答即可；
（2）先将被开方数通分，再根据二次根式的性质化简即可．

解答 解：（1）∵①$\sqrt{2-\frac{2}{5}}$=$\sqrt{\frac{{2}^{3}}{5}}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$，
②$\sqrt{3-\frac{3}{10}}$=$\sqrt{\frac{{3}^{3}}{10}}$=3$\sqrt{\frac{3}{10}}$，
③$\sqrt{4-\frac{4}{17}}$=$\sqrt{\frac{{4}^{3}}{17}}$=4$\sqrt{\frac{4}{17}}$，
∴$\sqrt{5-\frac{5}{26}}$=$\sqrt{\frac{{5}^{3}}{26}}$=5$\sqrt{\frac{5}{26}}$，
故答案为：$\sqrt{\frac{125}{26}}$，5$\sqrt{\frac{5}{26}}$；

（2）猜想：$\sqrt{n-\frac{n}{{n}^{2}+1}}$=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}+1}}$，
验证如下：当n≥2，n为自然数时，
原式=$\sqrt{\frac{{n}^{3}+n}{{n}^{2}+1}-\frac{n}{{n}^{2}+1}}$
=$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{{n}^{2}+1}}$
=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}+1}}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．