Question

14．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时
针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，过E点作EH⊥CD于H，则EH的长为$\frac{15\sqrt{7}}{8}$．

Answer 1

分析 先利用等边三角形的性质得到∠BAC=60°，AB=AC，再利用旋转的性质得∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE=5，CE=BD=6，则可判断△ADE为等边三角形得到DE=AD=5，设DH=x，则CH=CD-DH=4-x，于是根据勾股定理得到EH²+x²=5²①，EH²+（4-x）²=6²②，然后利用加减消元法先求出x，再计算EH即可．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，
∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE=5，CE=BD=6，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
设DH=x，则CH=CD-DH=4-x，
在Rt△DHE中，EH²+x²=5²，①
在Rt△CHE中，EH²+（4-x）²=6²，②
②-①得16-8x=11，解得x=$\frac{5}{8}$，
∴EH=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{5}{8}）^{2}}$=$\frac{15\sqrt{7}}{8}$．
故答案为$\frac{{15\sqrt{7}}}{8}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．