Question

7．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D（m，1）为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E．
（1）求边AB的长和反比例函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，求四边形BEDF的面积；
（3）在y轴的负半轴找一点P，使DP平分∠CPA，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）因为E在AB上，且E（4，n），则OA=4，可知m=2，把D的坐标代入到反比例函数的解析式中即可求k，同时得AB的长就是点D纵坐标的2倍；
（2）作两三角形的高线，根据D、E、F三点的坐标表示出两三角形的底边和高的长，则四边形BEDF的面积=△BDF的面积+△BDE的面积；
（3）作辅助线，设PO=a，在Rt△POA中利用勾股定理列方程求出a的值，写出点P的坐标．

解答 解：（1）∵E（4，n），
∴OA=4，
∵点D（m，1）为对角线OB的中点，
∴D（2，1），AB=2，
把D（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$中得：k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{2}{x}$；
（2）如图1，当x=4时，y=$\frac{1}{2}$，则E（4，$\frac{1}{2}$），
当y=2时，x=1，则F（1，2），
过D作DG⊥AB于G，过D作DH⊥BC于H，
根据D、E、F三点的坐标得：DG=4-2=2，BE=2-n=$\frac{3}{2}$，BF=4-1=3，DH=1，
∴S_{四边形BEDF}=S△_BDE+S_△BDF=$\frac{1}{2}$BE•DG+$\frac{1}{2}$BF•DH=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2+$\frac{1}{2}$×3×1=3；
（3）如图2，过D作DM⊥AP于M，过D作DN⊥PC于N，连接AD，
∵PD平分∠CPA，
∴DN=DM=2，
∵DO=DA=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AM=1，
设PO=a，则PN=PM=a+1，
∴PA=PM+AM=a+2，
在Rt△POA中，PO²+OA²=PA²，
a²+4²=（a+2）²，
a=3，
∴P（0，-3）．

点评 本题是反比例与矩形的综合题，考查了矩形和角平角线的性质、勾股定理及运用待定系数法求反比例函数的解析式，并利用反比例函数求点的坐标，把反比例函数与矩形相结合，注意点的坐标特点及矩形性质的运用．