Question

18．如图，⊙O的半径是1cm，圆外一点OP=3cm；小明用圆规和直尺作如下操作：

①分别以O、P为圆心，以3cm的长为半径画弧，两弧相交于A、B两点；
②作直线AB交OP于点M；
③以M点为圆心，以线段OM的长为半径画弧，交⊙O于一点C
（1）请帮小明完成余下作图：①作射线PC；②延长PO交圆O于点D，连接CD；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）如图，依题意如图所示，
（2）连结OC，根据切线的判定定理：经过半径的外端，并且和这条半径垂直的直线是圆的切线，可证得PC是⊙O的切线．
（3）由切线长定理，求出PC，再由△PCE∽△PDC求出DC与CE的关系，最后在Rt△DCE中，利用勾股定里求出DC的长．

解答 解：（1）如图所示，
（2）连结CO，根据题意，AB是PO的垂直平分线
∵PO=3，M是PO的中点，
∴OM=MP=1.5，又MC=OM
∴CM=OM=MP=$\frac{1}{2}$OP，
∴△POC是直角三角形，即∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线．
（3）∵⊙O半径是1，PO=3，
∴PD=PO+DO=3+1=4，PE=PO-OE=3-1=2，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC²=PE•PD=2×4=8，
∴PC=2$\sqrt{2}$，
∵∠PCE=∠CDP，∠P=∠P，
∴△PCE∽△PDC，
∴$\frac{DC}{CE}=\frac{PC}{PE}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，
∴DC=$\sqrt{2}$CE，
∵DE是⊙O直径，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+CE²=DE²，
∴（$\sqrt{2}$CE）²+CE²=2²，
解，得CE=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴DC=$\sqrt{2}$×$\frac{2}{3}\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}\sqrt{6}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．