Question

15．如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=DF，连接AC交EF于点G，∠EAF=60°，给出下列结论：①AE=AF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF，其中正确的结论有（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 先根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°，CB=CD，则可利用“SAS”证明△ABE≌△ADF，于是得到AE=AF，则可对①进行判断；利用全等的性质得∠BAE=∠DAF，加上∠EAF=60°，易得∠DAF=15°，则可对②进行判断；证明CE=CF，加上AE=AF，则可利用线段垂直平分线定理的逆定理可对③进行判断．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°，
在△ABE和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF
∴AE=AF，所以①正确；
∠BAE=∠DAF，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=90°-60°=30°，
∴∠DAF=15°，所以②正确；
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，
而BE=DF，
∴CE=CF，
∴点C在EF的垂直平分线上，
∵AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上，
∴AC垂直平分EF，所以③正确．
故选D．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质；能利用全等三角形的知识证明线段相等的问题；灵活应用线段垂直平分线定理的逆定理．