Question

两个边长不定的正方形ABCD与AEFG如图1摆放，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定角度．
（1）若点E落在BC边上（如图2），试探究线段CF与AC的位置关系并证明；
（2）若点E落在BC的延长线上时（如图3），（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，加以证明．

Answer 1

（1）如图，过E作EM⊥CB于E交AC与M，
而AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEM+∠MEF=∠CEF+∠MEF，
∴∠AEM=∠CEF，
又∵AC是正方形的对角线，
∴∠ACE=45°，
∴CE=ME，
∵AE=EF，
∴△AEM≌△FEC，
∴∠CFE=∠CAE，
而∠ANE=∠CNF，
∴∠ACF=∠AEF=90°，
即CF⊥AC；

（2）若点E落在BC的延长线上时（如图3），（1）中结论是否仍然成立．
过F作FH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵四边形ABCD、四边形AEFG是正方形，
∴∠AEF=∠B=∠EHF=90°，AE=EF，
∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠BAE=∠FEH，
∴△FEH≌△EAB，
∴EH=AB，FH=BE，
即EH=AB=BC，
FH=BE=BC+CE，
∴FH=EH+CE=CH，
即∠FCH=45°，而∠ACB=45°，
∴AC⊥CF．