Question

5．如图，在△ABC中，AC=BC，在△ABC外部取一点D，连接AD，BD，CD，且DC平分∠ADB，求证：∠ACB+∠ADB=180°．

Answer 1

分析 如图作CE⊥AD于E，CF⊥DB于F．由Rt△CEA≌Rt△CFB，推出∠ACE=∠CFB，推出ACB=∠ECF，在四边形ECFD中，∠EDF+∠ECF=360°-∠CED-∠CFD=180°，可得∠ACB+∠ADB=180°．

解答 证明：如图作CE⊥AD于E，CF⊥DB于F．
∵CD平分∠ADB，CE⊥AD于E，CF⊥DB于F，
∴CE=CF，∠CEA=∠CFB=90°，
在Rt△CEA和Rt△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△CEA≌Rt△CFB，
∴∠ACE=∠CFB，
∴∠ACB=∠ECF，
在四边形ECFD中，∠EDF+∠ECF=360°-∠CED-∠CFD=180°，
∴∠ACB+∠ADB=180°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．