Question

14．如图，AB是⊙O的直径，已知AB=2，C，D是⊙O的上的两点，且$\widehat{BC}$+$\widehat{BD}$=$\frac{2}{3}$$\widehat{AB}$，M是AB上一点，则MC+MD的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过D作DD′⊥AB于H交⊙O于D′，根据垂径定理得到$\widehat{BD}$=$\widehat{D′B}$，于是得到∠COD′=120°，连接CD′交AB于M，则CD′=MC+MD的最小值，过O作ON⊥CD′于N，得到CD′=2NC，∠C=30°，解直角三角形得到CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得到结论．

解答 解：过D作DD′⊥AB于H交⊙O于D′，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{D′B}$，
∵$\widehat{BC}$+$\widehat{BD}$=$\frac{2}{3}$$\widehat{AB}$，
∴$\widehat{BC}$+$\widehat{BD′}$=$\frac{2}{3}$$\widehat{AB}$，
∴∠COD′=120°，
连接CD′交AB于M，
则CD′=MC+MD的最小值，
过O作ON⊥CD′于N，
∵OC=OD′，
∴CD′=2NC，∠C=30°，
∵OC=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CD′=$\sqrt{3}$，
∴MC+MD的最小值是$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了垂径定理，勾股定理，以及轴对称-最短线路问题，熟练掌握定理是解本题的关键．