Question

13．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=6cm，BE是∠ABC的角平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向运动，以4cm/s的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求AE的长；
（2）是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t=1时，线段NM将平行四边形ABCD面积二等分（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质得出∠AEB=∠CBE，再利用角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE即可得出结论；
（2）利用平行四边形的性质即可得出EM=BN，再分两种情况讨论计算即可得出结论；
（3）利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，再建立方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB，
∵2AB=6cm，
∴AE=3cm；

（2）由（1）知，AE=3，
∵AD=6，
∴DE=AD-AB=3，
由运动知，EM=t，CN=4t（0≤t≤3），
∵AD∥BC，要以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形，只要EM=BN，
当点N在边BC上时，EN=BC-CN=6-4t，
∴t=6-4t，
∴t=$\frac{6}{5}$
当点N在边CB的延长线上时，EN=CN-BC=4t-6，
∴t=4t-6，
∴t=2，
∴t=$\frac{6}{5}$或t=2时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）如图，

连接BD交MN于O，
∵线段NM将平行四边形ABCD面积二等分，
∴MN必过BD的中点，
∴OB=OD，
∵AD∥BC，
∴∠MDO=∠NBO，
在△MOD和△NOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDO=∠NBO}\\{OD=OB}\\{∠DOM=BON}\end{array}\right.$，
∴△MOD≌△NOB，
∴DM=BN，
由运动知，EM=t，CN=4t，
∴DM=3-t，BN=6-4t，
∴3-t=6-4t，
∴t=1，
∴t=1时，线段MN将平行四边形ABCD面积二等分，
故答案为1．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义；解（1）的关键是得出∠ABE=∠AEB，解（2）的关键是分类讨论的思想建立方程求解，解（3）的关键是判断出OB=OD．