Question

8．矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且DE=BF．∠ECA=∠FCA．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=8，BC=4，求菱形AFCE的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再证明FA=FC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论；
（2）设DE=x，则AE=EC=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理列方程求得x的值，再求菱形的面积即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵DE=BF，
∴EC=AF，
而EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
由DC∥AB可得∠ECA=∠FAC，
∵∠ECA=∠FCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴平行四边形AFCE是菱形；
（2）解：设DE=x，则AE=EC=8-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得
4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，
∴菱形的边长EC=8-3=5，
∴菱形AFCE的面积为：4×5=20．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、菱形的面积、勾股定理，第2问中知道矩形的四个角都是直角，确定一个直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程求菱形的边长．