Question

3．综合与实践：折纸中的数学
数学活动课上，老师组织各学习小组同学动手操作，大胆猜想并加以验证．
动手操作：如图，将长与宽的比是2：1的矩形纸片ABCD对折，使得点B与点A重合，点C与点D重合，然后展开，得到折痕EF，BC边上存在一点G，将角B沿GH折叠，点B落到AD边上的点B′处，点B在AB边上；将角C沿GD折叠，点C恰好落到B′G上的点C′处，HG和DG分别交EF于点M和点N，B′G交EF于点O，连接B′M，B′N．
提出猜想：①“希望”小组猜想：HG⊥DG；
②“奋斗”小组猜想：B′N⊥DG；
③“创新”小组猜想：四边形B′MGN是矩形．
独立思考：
（1）请你验证上述学习小组猜想的三个结论；（写出解答过程）
（2）假如你是该课堂的一名成员，请你在现有图形中，找出一个和四边形B′MGN面积相等的四边形．（直接写出其名称，不必证明）

Answer 1

分析 （1）①由∠BGH=∠B′GH，∠DGC=∠DGB′即可证明；
②只要证明△B′DG是等腰三角形即可；
③只要证明OM=OB′=OG即可；
（2）根据等腰三角形的性质、矩形的性质即可得到答案．

解答 （1）解：∵∠BGH=∠B′GH，∠DGC=∠DGB′，
∴2∠B′GH+2∠DGB′=180°，
∴∠B′GH+∠DGB′=90°，
∴∠DGH=90°即HG⊥DG，故①正确，
∵AD∥BC，
∴∠B′DG=∠DGC=∠DGB′，
∴B′D=B′G
∵AD∥EF∥BC，
AE=EB，DF=FC，
∴DN=NG，B′O=OG，
∴B′N⊥DG，故②正确，
∵OM∥BG，
∴∠OMG=∠MGB=∠MGO，
∴MO=OG=OB′，
∴△B′MG是直角三角形，
∴∠B′MG=90°，
∵∠B′MG=∠B′NG=∠NGM=90°，
∴四边形B′MGN是矩形，故③正确；
（2）结论：四边形B′MND和四边形B′MGN的面积相等．
理由：∵△B′DG是等腰三角形，DN=NG，
∴S_△B′ND=S_△B′NG，
∵S_△B′MG=S_△B′MN，
∴S_{四边形B′MGN}=S_{四边形B′MND}．

点评 本题考查的是翻折变换、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的判定定理，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．