Question

18．已知点D与点A（-2，0），B（0，4），C（a，a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 讨论两种情形：①CD是对角线，②CD是边．CD是对角线时CF⊥直线y=x时，CD最小．CD是边时，CD=AB=2$\sqrt{5}$，通过比较即可得出结论．

解答 解：如图如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y=x时，CD最小．
设直线AB为y=kx+b则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直线AB为y=2x+4，
∵AF=FB，
∴点F坐标为（-1，2），
∵CF⊥直线y=x，
设直线CF为y=-x+b′F（-1，2）代入得b′=1
∴直线CF为y=-x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴点C坐标（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∴CD=2CF=2×$\sqrt{（\frac{1}{2}+1）^{2}+（\frac{1}{2}-2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
如果CD是平行四边形的边，则CD=AB=2$\sqrt{5}$＞3$\sqrt{2}$，
∴CD的最小值为3$\sqrt{2}$．
故选C．

点评 本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、垂线段最短等知识，学会分类讨论是解题的关键，灵活运用垂线段最短解决实际问题，属于中考常考题型．