Question

13．如图，在平行四边形ABCD中，E，G，F，H分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且EF=GH，AE=CF，DH=BG，求证：四边形EGFH是菱形．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质和已知条件得出∠A=∠C，AG=CH，由SAS证明△AGE≌△FHC，得出GE=FH，同理：GF=EH，证出四边形EGFH是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C，
∵DH=BG，
∴AG=CH，
在△AGE和△FHC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠A=∠C}&{\;}\\{AG=CH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△FHC）SAS），
∴GE=FH，
同理：GF=EH，∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．