Question

11．如图：在△ABC中，AB=5，AC=9，S_△ABC=$\frac{27}{2}$，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH．
（1）tanA=$\frac{3}{4}$；
（2）过P作PN⊥AC于N，设点P运动时间为t，
①PN=3t，QN=9-9t（用含t的代数式表示）；
②若正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点B作BM⊥AC于点M，利用面积法求得BM的长度，利用勾股定理得到AM的长度，最后由锐角三角函数的定义进行解答；
（2）如图2，①过点P作PN⊥AC于点N，根据题意即可得到结果；②利用（1）中的结论和勾股定理得到PN²+NQ²=PQ²，所以由正方形的面积公式得到S关于t的二次函数，利用二次函数的顶点坐标公式和二次函数图象的性质来求其最值；
（3）需要分类讨论：当点E在边HG上、点F在边HG上、点P边QH（或点E在QC上）、点F边C上时相对应的t的值．

解答 解：（1）如图1，过点B作BM⊥AC于点M，
∵AC=9，S_△ABC=$\frac{27}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$AC•BM=$\frac{27}{2}$，即$\frac{1}{2}$×9•BM=$\frac{27}{2}$，
解得BM=3．
由勾股定理，得
AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
则tanA=$\frac{BM}{AM}$=$\frac{3}{4}$；
故答案为：$\frac{3}{4}$；

（2）存在，
①如图2，过点P作PN⊥AC于点N，
依题意得AP=CQ=5t，
∵tanA=$\frac{3}{4}$，
∴AN=4t，PN=3t，
∴QN=AC-AN-CQ=9-9t，
故答案为：3t，9-9t；
②根据勾股定理得到：PN²+NQ²=PQ²，
S_{正方形PQEF}=PQ²=（3t）²+（9-9t）²=90t²-162t+81（0＜t＜$\frac{9}{5}$）．
∵-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-162}{2×90}$=$\frac{9}{10}$，在t的取值范围之内，
∴S_最小值=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×90×81-16{2}^{2}}{4×90}$=$\frac{81}{10}$；

（3）①如图3，当点E在边HG上时，过P作PN⊥AC于N，
由②知，NQ=9-9t，
∵四边形PQEF，QCGH是正方形，
∴PQ=QE，∠CQH=∠PQE=90°，
∴∠PQN=∠EQH，
在△PQN与△HQE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PNQ=∠H=90°}\\{∠PQN=∠HQE}\\{PQ=QE}\end{array}\right.$，
∴△PQN≌△HQE，
∴QN=HQ，
∴9-9t=5t，
解得t₁=$\frac{9}{14}$；
②如图4，当点F在边HG上时，过E作ME⊥CQ于M，反向延长EM交HG于I，
则四边形HQMI是矩形，
∴IM=HQ=5t，
在△PNQ与△QEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QPN=∠EQM}\\{∠PNQ=∠QME}\\{PQ=EQ}\end{array}\right.$，
∴△PNQ≌△QEN，
∴PN=QM=3t，ME=NQ=9-9t，
同理△FIE≌△QEN，
∴IE=QM-3t，
∴ME=2t，
∴2t=9-9t，
解得：t₂=$\frac{9}{11}$；
③如图5，当点P边QH（或点E在QC上）时，∵PQ⊥CQ，
∴AQ=4t，
∴9t=9，解得：t₃=1；
④如图6，当点F边CG上时，过P作PN⊥AC于N，PM⊥HQ于M，反向延长交QC于I，
则四边形PMQN是矩形，
∴PM=QN=9t-9，
同理证得△PNQ≌△PIF，
∴PI=PN=3t，
∴PM=2t
∴2t=9t-9，
解得：t₄=$\frac{9}{7}$．

点评 本题考查了四边形综合题．其中涉及到了三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理以及二次函数的最值的求法．其中，解答（3）题时，要分类讨论，做到不重不漏，结合图形解题，更形象、直观．