题目内容
3．某大学生利用暑假开展了30天的社会实践活动，参与了某超市的经营，了解到某成本为10元/件的商品杂x天销售的相关信息，如表表示：| 销售量p（件） | P=40-x |
| 销售单价q（元/件） | 当1≤x≤20时，q=20+x 当20＜x≤30时，q=40 |
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）在这30天中，该超市销售这种商品第几天的利润最大？最大利润是多少？
分析 （1）根据总价=单价×数量，分别用每件商品的利润乘以这种商品的销售量，求出y关于x的函数关系式即可．
（2）首先分类讨论，求出①当1≤x≤20时，②当20＜x≤30时，该超市销售这种商品所获的利润是多少，然后比较大小，判断出该超市销售这种商品第几天的利润最大，最大利润是多少即可．
解答 解：（1）①当1≤x≤20时，
y=（20+x-10）（40-x）
=（10+x）（40-x）
=-x2+30x+400
②当20＜x≤30时，
y=（40-10）（40-x）
=30（40-x）
=-30x+1200
∴$y=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+30x+400（1≤x≤20）\\-30x+1200（20＜x≤30）\end{array}\right.$
（2）①当1≤x≤20时，y=-（x-15）2+625，
∴当x=15时，y最大值=625元．
②当20＜x≤30时，
∵-30＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵x取正整数，
∴当x=21时，y最大值=570（元）．
∵625＞570，
∴在这30天中，该超市销售这种商品，第15天的利润最大，且最大利润为625元．
点评 （1）此题主要考查了二次函数的应用，考查了单价、总价、数量的关系，以及函数解析式的求法，要熟练掌握．
（2）此题还考查了一次函数、二次函数的最值的求法，要熟练掌握．
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