Question

13．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．
（1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2）当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；
（3）当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于A，B两点，可求得点A与点B的坐标，继而求得∠OBA=30°，然后过点O作OH⊥AB于点H，利用三角函数可求得OH的长，继而求得答案；
（2）当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，易得⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°-30°-30°=120°，则可求得弧长；同理可求得当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长；
（3）首先求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，点D的坐标，然后利用对称性可以求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，点D的坐标．

解答 解：（1）原点O在⊙P外．
理由：∵直线y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于A，B两点，
∴点A（2，0），点B（0，-2$\sqrt{3}$），
在Rt△OAB中，tan∠OBA=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OBA=30°，
如图1，过点O作OH⊥AB于点H，
在Rt△OBH中，OH=OB•sin∠OBA=$\sqrt{3}$，
∵$\sqrt{3}$＞1，
∴原点O在⊙P外；

（2）如图2，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠OBA=30°，
∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°-30°-30°=120°，
∴弧长为：$\frac{120°×π×1}{180}$=$\frac{2π}{3}$；
同理：当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为：$\frac{2π}{3}$；
∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长为：$\frac{2π}{3}$；

（3）如图3，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，
在PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，
∴∠APD=∠ABO=30°，
∴在Rt△DAP中，AD=DP•tan∠DPA=1×tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OD=OA-AD=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴此时点D的坐标为：（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）；
当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）；
综上可得：当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为：（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）或（2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）．

点评 此题属于一次函数的综合题，考查了直线上点的坐标的性质、切线的性质、弧长公式以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线，注意分类讨论思想的应用．