Question

5．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过圆心P，则k=-5．

Answer 1

分析 作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明△ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=$\frac{6}{5}$，接着利用勾股定理计算出AH=$\frac{8}{5}$，所以BH=10-$\frac{8}{5}$=$\frac{42}{5}$，然后证明△BEP∽△BHC，利用相似比得到即$\frac{10-（2+r）}{\frac{42}{5}}$=$\frac{r}{\frac{6}{5}}$，解得r=1，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．

解答 解：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，
∵⊙P与边AB，AO都相切，
∴PD=PE=r，AD=AE，
在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，
∴OB=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵AC=2，
∴OC=6，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD=CD=r，
∴AE=AD=2+r，
∵∠CAH=∠BAO，
∴△ACH∽△ABO，
∴$\frac{CH}{OB}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{CH}{6}$=$\frac{2}{10}$，解得CH=$\frac{6}{5}$，
∴AH=$\sqrt{A{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{8}{5}$，
∴BH=10-$\frac{8}{5}$=$\frac{42}{5}$，
∵PE∥CH，
∴△BEP∽△BHC，
∴$\frac{BE}{BH}$=$\frac{PE}{CH}$，即$\frac{10-（2+r）}{\frac{42}{5}}$=$\frac{r}{\frac{6}{5}}$，解得r=1，
∴OD=OC-CD=6-1=5，
∴P（5，-1），
∴k=5×（-1）=-5．
故答案为-5．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线不确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征．