Question

4．我们定义：a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数，如：2的差倒数$\frac{1}{1-2}$=1，现在有若干个数，第一个数记为a₁，第二个数记为a₂，第三个数记为a₃…且${a}_{1}=-\frac{1}{3}$，
（1）分别求出a₂，a₃，a₄的值，
（2）计算a₁+a₂+a₃+…+a₃₆的值．

Answer 1

分析 （1）根据${a}_{1}=-\frac{1}{3}$，可得${a}_{2}=\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}=\frac{3}{4}$，同理，求出a₃，a₄的值各是多少即可．
（2）首先根据a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的值，可得每3个数为一个循环，然后求出每个循环三个数的和，以及循环数各是多少；最后把它们相乘，求出a₁+a₂+a₃+…+a₃₆的值是多少即可．

解答 解：（1）∵${a}_{1}=-\frac{1}{3}$，
∴${a}_{2}=\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}=\frac{3}{4}$，
a₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=4$，
a₄=$\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3}$．

（2）∵a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=4，a₄=-$\frac{1}{3}$，a₅=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}=\frac{3}{4}$，a₆=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=4$，…，
∴每3个数为一个循环，分别是-$\frac{1}{3}、\frac{3}{4}、4$，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₃₆
=（$-\frac{1}{3}+\frac{3}{4}+4$）×（36÷3）
=4$\frac{5}{12}×12$
=53
即a₁+a₂+a₃+…+a₃₆的值是53．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数中，每3个数为一个循环，分别是-$\frac{1}{3}、\frac{3}{4}、4$．