Question

（A）如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，点Q、P、同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB面积的一半？

（B） 如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/S的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/S的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的

1

4

？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（A）根据题意∠C=90°，可以得出△ABC面积为

1

2

×4×8=16，△PCQ的面积为

1

2

（8-x）（4-x），设出t秒后满足要求，则根据△PCQ的面积是△ABC面积的一半列出等量关系求出t的值即可；
（B）（1）根据三角形的面积公式可以求出时间t；
（2）由等量关系S_△PCQ=

1

2

S_△ABC列方程求出t的值，但方程无解．

解答：解：（A）设经过x秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半，
则：

1

2

（8-x）（4-x）=

1

2

×

1

2

×4×8，
解得x₁=6+2

5

（舍去），x₂=6-2

5

．
答：（6-2

5

）秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半；

（B）（1）∵S_△PCQ=

1

2

t（8-2t），S_△ABC=

1

2

×4×8=16，
∴

1

2

t（8-2t）=16×

1

4

，
整理得t²-4t+4=0，
解得t=2．
答：当t=2s时△PCQ的面积为△ABC面积的

1

4

；

（2）当S_△PCQ=

1

2

S_△ABC时，

1

2

t（8-2t）=16×

1

2

，
整理得t²-4t+8=0，
△=（-4）²-4×1×8=-16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．

点评：本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．