Question

如图所示，在△ABC中，P是BC边上的一点，试说明AB²•PC+AC²•PB=BC（AP²+PB•PC）．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：证明题

分析：过A作AD⊥BC于D．根据勾股定理可得AB²×PC+AC²×PB=BC×AD²+BD²×PC+CD²×PB，不妨设D在P右边（左边同理可证），得到BD²×PC+CD²×PB=BC×（BP×CP+DP²），AB²×PC+AC²×PB=BC×（AP²+PB×PC），依此即可求解．

解答：证明：过A作AD⊥BC于D．
∵AD⊥BC，
∴AB²=AD²+BD²，AC²=AD²+CD²，
∴AB²×PC+AC²×PB
=（AD²+BD²）×PC+（AD²+CD²）×PB
=AD²（PB+PC）+BD²×PC+CD²×PB
=BC×AD²+BD²×PC+CD²×PB，
不妨设D在P右边（左边同理可证），
BD²×PC+CD²×PB
=BD²×（CD+PD）+CD²×（BD-DP）
=BD²×CD+CD²×BD+PD（BD²-CD²）
=BD×CD×（BD+CD）+PD×（BD+CD）×（BD-CD）
=BD×CD×BC+DP×BC×（BD-CD）
=BC×（BD×CD-DP×CD+DP×BD）
=BC×（BP×CD+DP×BD）
=BC×（BP×CD+DP×BP+DP×DP）
=BC×（BP×CP+DP²），
∴AB²×PC+AC²×PB
=BC×AD²+BD²×PC+CD²×PB
=BC×AD²+BC×（BP×CP+DP²）
=BC×（AD²+DP²+BP×CP）
=BC×（AP²+PB×PC），
即AB²×PC+AC²×PB=BC×（AP²+PB×PC）．

点评：考查了勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线构造直角三角形．