Question

5．如图，CE是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交CE延长线于点A，连接DE，过点O作OB∥ED，交AD的延长线于点B，连接BC．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE=2，tan∠DEO=$\sqrt{2}$，求AO的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通过证明△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，问题得证；
（2）根据三角函数tan∠DEO=tan∠2=$\sqrt{2}$，设OC=r，BC=$\sqrt{2}$r，得到BD=BC=$\sqrt{2}$r，由切割线定理得到AD=2$\sqrt{1+r}$，再根据平行线分线段成比例得到比例式即可求得结果．

解答 解：（1）连接OD，
∵DE∥BO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OE，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△DOB与△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{∠1=∠2}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△DOB≌△COB，
∴∠OCB=∠ODB，
∵BD切⊙O于点D，
∴∠ODB=90°，
∴∠OCB=90°，
∴AC⊥BC，
∴直线BC是⊙O的切线；

（2）∵∠DEO=∠2，
∴tan∠DEO=tan∠2=$\sqrt{2}$，
设OC=r，BC=$\sqrt{2}$r，
由（1）证得△DOB≌△COB，
∴BD=BC=$\sqrt{2}$r，
由切割线定理得：AD²=AE•AC=2（2+r），
∴AD=2$\sqrt{1+r}$，
∵DE∥BO，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{OE}$，
∴$\frac{2\sqrt{1+r}}{\sqrt{2}r}=\frac{2}{r}$，
∴r=1，
∴AO=3．

点评 本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，切割线定理，平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．