Question

5．菱形ABCD中，O对角线BD上一点，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S，若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，求CR、OD和AR的长．

Answer 1

分析 由菱形的性质得DC=CB=DA=4，AD∥BC，再由∠DCB=60°得到△BCD为等边三角形，则BD=BC=4，作AH⊥BC于H，如图，在Rt△ABH中计算出BH=$\frac{1}{2}$AB=2，AH=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，在Rt△AHS中利用勾股定理计算出AS=2$\sqrt{39}$，接着证明△ADO∽△SBO，利用相似比得到DO：BO=4：10=2：5，则DO=$\frac{2}{7}$BD=$\frac{8}{7}$；然后证明△ADR∽△SCR，利用相似比得到DR：CR=AR：SR=2：3，于是得到CR=$\frac{3}{5}$CD=$\frac{12}{5}$，AR=$\frac{2}{5}$AS=$\frac{4\sqrt{39}}{5}$．

解答 解：∵菱形ABCD中，AD=4，
∴DC=CB=DA=4，AD∥BC，
∵∠DCB=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=BC=4，
作AH⊥BC于H，如图，
在Rt△ABH中，∵∠ABH=∠DCB=60°
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=2，AH=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AHS中，AS=$\sqrt{A{H}^{2}+S{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+1{2}^{2}}$=2$\sqrt{39}$，
∵AD∥BS，
∴△ADO∽△SBO，
∴AD：BS=DO：BO，即DO：BO=4：10=2：5，
∴DO=$\frac{2}{7}$BD=$\frac{8}{7}$；
∵AD∥SC，
∴△ADR∽△SCR，
∴AD：CR=DR：CR=AR：SR，即DR：CR=AR：SR=4：（10-4）=2：3，
∴CR=$\frac{3}{5}$CD=$\frac{12}{5}$，AR=$\frac{2}{5}$AS=$\frac{4\sqrt{39}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似三角形的性质主要是利用相似比计算相应线段的长．