Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=AD，过点D作垂直于AB的直线与∠ACB的平分线相交于点E，求证：ED=CD．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过点C作CF⊥AB于F，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，然后求出点D是AB的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=CD=AD=

1

2

AB，然后求出∠ACF=30°，根据角平分线的定义求出∠ACE=∠BCE=45°，再求出∠ECF=∠ECD=15°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠ECF=15°，从而得到∠F=∠ECD，最后根据等角对等边证明即可．

解答：证明：过点C作CF⊥AB于F，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=60°，AB=2AC，
∵AC=AD，
∴AB=2AD，
∴D是AB的中点，
∴BD=CD=AD=

1

2

AB，
∴∠BCD=∠B=30°，
∵CF⊥AB，
∴∠ACF=90°-∠A=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=

1

2

∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACE-∠ACF=15°，∠ECD=∠BCE-∠BCD=15°，
∴∠ECF=∠ECD，
∵DE⊥AB，
∴CF∥DE，
∴∠F=∠ECF=15°，
∴∠F=∠ECD，
∴ED=CD．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，等角对等边的性质，求出度数相等得到相等的角是解题的关键．