题目内容
如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．试解答下列问题：
①仔细观察，在图2中有 个以线段AC为边的“8字形”；
②若∠B=76°，∠C=80°，试求∠P的度数；
③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量关系，并说明理由．
①仔细观察，在图2中有
②若∠B=76°，∠C=80°，试求∠P的度数；
③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量关系，并说明理由．
考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质
专题：
分析：①以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；
②根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=
（∠C+∠B），然后把∠C=80°，∠B=76°代入计算即可；
③与②的证明方法一样得到∠P=
（2∠C+∠B）或∠P=
（∠C+2∠B）．
②根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=
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③与②的证明方法一样得到∠P=
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解答：解：①3；
故答案为3．
②证明：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=∠P-∠B，
即∠P=
（∠C+∠B），
∵∠C=80°，∠B=76°
∴∠P=
（80°+76°）=78°；
③∠P=
（2∠C+∠B）或∠P=
（∠C+2∠B）．
证明：∵AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，
∴∠CAP=
∠BAC，∠BAP=
∠BAC，∠BDP=
∠BDC，∠CDP=
∠BDC，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=
∠BDC-
∠BAC，∠P-∠B=
∠BDC-
∠BAC，
∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，
∴∠P=
（∠B+2∠C），
故答案为3．
②证明：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=∠P-∠B，
即∠P=
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∵∠C=80°，∠B=76°
∴∠P=
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③∠P=
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证明：∵AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，
∴∠CAP=
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∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=
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∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，
∴∠P=
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点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
练习册系列答案
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