Question

△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D、E、F分别在AB、AC，BC上，且AD=AE，DC为EF中垂线，求证：BF=2AD．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接DE，DF，设DC与EF相交于点O，设AD=x，表示DE，然后根据平行线分线段成比例定理求出DE∥BC，再求出DE=FC，从而判断出四边形DECF是平行四边形，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得FC=DF，判断出四边形DECF是菱形，根据菱形的四条边都相等可得DE=EC=

2

x，再求出BC，然后根据BF=BC-FC表示出BF，从而得证．

解答：证明：连接DE，DF，设DC与EF相交于点O，
设AD=x，则AE=x，
∵AD=AE，∠A=90°，
∴DE=

2

x，
∵AB=AC，AD=AE，
∴

AD

AB

=

AE

AC

，
∴DE∥BC，
∴

DE

FC

=

EO

FO

，
∵DC为EF中垂线，
∴EO=FO，
∴DE=FC，
又∵DE∥FC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵DC为EF中垂线，
∴FC=DF，
∴四边形DECF是菱形，
∴DE=EC=

2

x，
∴AC=x+

2

x，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
∴BC=

2

AC=

2

（x+

2

x）=

2

x+2x，
∴BF=BC-FC=

2

x+2x-

2

x=2x，
∴BF=2AD．

点评：本题考查了菱形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记各性质并用AD表示出BF是解题的关键．