Question

3．菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，点E在BC上，CE=2$\sqrt{3}$，若点P是菱形上异于点E的另一点，CE=CP，则EP的长为6或2$\sqrt{6}$或2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 连接EP交AC与点H，依据菱形的性质可得到∠ECH=∠PCH=60°，然后依据SAS可证明△ECH≌△PCH，则∠EHC=∠PHC=90°，最后依据PE=EH=2sin60°•EC求解即可．

解答 解：如图所示：连接EP交AC与点H．

∵菱形ABCD中，∠B=60°，
∴∠BCD=120°，∠ECH=∠PCH=60°．
在△ECH和△PCH中$\left\{\begin{array}{l}{EC=PC}\\{∠ECH=∠PCH}\\{CH=CH}\end{array}\right.$，
∴△ECH≌△PCH．
∴∠EHC=∠PHC=90°，EH=PH．
∴EP=2EH=2sin60°•EC=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$=6．
如图2所示：△ECP为等腰直角三角形，则EP=$\sqrt{2}$EC=2$\sqrt{6}$．

过点P′作P′F⊥BC．
∵P′C=2$\sqrt{3}$，BC=4，∠B=60°，
∴P′C⊥AB．
∴∠BCP′=30°．
∴FC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$=3，P′F=$\sqrt{3}$，EF=2$\sqrt{3}$-3．
∴EP′=$\sqrt{（2\sqrt{3}-3）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$．
故答案为：6或2$\sqrt{6}$或2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查的是菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．