Question

20．如图，在?ABCD中，AC⊥CD．
（1）延长DC到E，使CE=CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；
（2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AF，CG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，求出CE∥AB，CE=AB，根据平行四边形的判定得出四边形ABEC是平行四边形，根据矩形的判定得出即可．
（2）根据平行四边形的性质得出AD=CB，AD∥CB，求出AG=CF，根据平行四边形的判定得出四边形AFCG是平行四边形，求出AG=CG，根据菱形的判定得出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CD=CE，
∴CE∥AB，CE=AB，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵AC⊥CD，
∴∠ACE=90°，
∴四边形ABEC是矩形；

（2）四边形AFCG是菱形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∵点F、G分别是BC、AD的中点，
∴AG=DG=$\frac{1}{2}$AD，BF=CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AG=CF，
∴四边形AFCG是平行四边形，
∵∠ACD=90°，G为AD的中点，
∴AG=CG，
∴四边形AFCG是菱形．

点评 本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．