Question

15．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB于点D，CE平分∠BCD，交AB于点E，AF平分∠CAD，交CD于点F．
求证：EF∥BC．

Answer 1

分析 由已知条件得到∠ACD=∠B，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠ECB，求得∠ACE=∠B+∠ECB=∠AEC，根据等腰三角形的判定得到AC=AE，推出△AFC≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠ACD=∠AEF=∠B，由平行线的判定定理即可得到结论．

解答 证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴∠ACD=∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠ECB，
∴∠ACD+∠DCE=∠B+∠ECB，
即：∠ACE=∠B+∠ECB=∠AEC，
∴AC=AE，
∵AF平分∠CAD，
∴∠CAF=∠EAF，
在△AFC和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠EAF}\\{AC=AE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△AFE，
∴∠ACD=∠AEF=∠B，
∴EF∥BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．