Question

12．解方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{ab}{a+b}=\frac{6}{5}}\\{\frac{bc}{b+c}=\frac{3}{4}}\\{\frac{ca}{c+a}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{6}{5}$得$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{5}{6}$，即$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{5}{6}$ ①，同理可得$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{4}{3}$ ②、$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$ ③，①+②+③得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{11}{6}$，分别减去①、②、③得出a、b、c的值．

解答 解：由$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{6}{5}$得：$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{5}{6}$，即$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{5}{6}$ ①，
同理可得$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{4}{3}$ ②，
$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$ ③，
①+②+③，得：2（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）=$\frac{5}{6}$+$\frac{4}{3}$+$\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{11}{6}$，
∴$\frac{1}{c}$=$\frac{11}{6}$-$\frac{5}{6}$=1，
∴c=1，
$\frac{1}{a}$=$\frac{11}{6}$-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，
$\frac{1}{b}$=$\frac{11}{6}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{3}$，
∴b=3，
则方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\\{c=1}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查解三元一次方程组，熟练掌握消元的思想方法是解题的关键．