Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一个根为2
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：方程x²+px+q=0有两个不等的实数根；
（3）若方程x²+px+q+1=0有两个相等的实数根，求方程x²+px+q=0两根．

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的解

专题：

分析：（1）根据方程的解满足方程，把x=2代入已知方程，可得q关于p的关系式；
（2）根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；
（3）根据方程有两个相等的实数根，可得判别式等于零，根据解方程组，可得p、q的值，根据因式分解法，可得方程的解．

解答：解：（1）∵一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2，
∴4+2p+q+1=0，
∴q=-2p-5；
（2）∵x²+px+q=0，
∴△=p²-4q=p²-4（-2p-5）=（p+4）²+4＞0，
∴方程x²+px+q=0有两个不等的实数根；
（3）x²+px+q+1=0有两个相等的实数根，
∴△=p²-4（q+1）=0，
由（1）可知q=-2p-5，
联立得方程组

p2-4q-4=0① q=-2p-5②

，解得

p=-4 q=3

，
把

p=-4 q=3

代入x²+px+q=0，得
x²-4x+3=0，
因式分解，得
（x-1）（x-3）=0，
解得x₁=1，x₂=3．

点评：本题考查了根的判别式，（1）方程的解满足方程，（2）利用了根的判别式，（3）解方程组，因式分解解方程．