Question

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=21cm，BC=24cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AD向D运动，另一动点Q同时从C出发，以2cm/s的速度沿边CB向点B运动，其中一动点达到端点时，另一动点随之停止运动．设点P的运动时间为t秒．问：
（1）经过多少时间，四边形PQCD为平行四边形？
（2）经过多少时间，四边形PQBA为矩形？
（3）经过多少时间，四边形PQCD为等腰梯形？

Answer 1

考点：等腰梯形的判定,平行四边形的判定,矩形的判定

专题：动点型

分析：（1）四边形PQCD为平行四边形，即CQ=PD，列出方程求解即可；
（2）四边形PQCD为矩形，即AP=BQ，列出方程求解即可；
（3）四边形PQCD为等腰梯形，即CD=PQ，作梯形PQCD的高DE，PF，根据QC-PD=2CE列出方程求解即可．

解答：解：设运动时间为t秒，
∴AP=tcm，PD=AD-AP=（21-t）cm，CQ=2tcm，BQ=BC-CQ=（24-2t）cm．
（1）∵AD∥BC，
∴当CQ=PD时，四边形PQCD是平行四边形．
此时有2t=21-t，
解得t=7．
∴当t=7s时，四边形PQCD是平行四边形；

（2）∵AD∥BC，
∴当PA=BQ时，四边形PQBA是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形PQBA是矩形，
即t=24-2t，
解得：t=8，
∴t=8s时，四边形PQBA是矩形；

（3）当四边形PQCD为等腰梯形时，如图所示：
在Rt△PQF和Rt△DCE中，

PQ=DC PF=DE

，
∴Rt△PQF≌Rt△DCE（HL），
∴QF=CE，
∴QC-PD=QC-EF=QF+CE=2CE，即2t-（21-t）=6，
解得：t=9．
即当t=9s时，四边形PQCD为等腰梯形．

点评：此题主要考查了矩形、平行四边形的判定，等腰梯形的判定与性质，利用数形结合与方程思想是解题的关键．