Question

在等腰Rt△ABC（∠C=90°）内取一点P，且AP=AC=a，BP=CP=b，求证：

a2+b2

a2-b2

为定值．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理

专题：证明题

分析：过点P作PD⊥BC与点D，作PE⊥AC于点E，可得四边形PDCE是矩形，有PD=EC，PE=CD，进而求得DC=

1

2

BC=

1

2

a，PD=EC=

2- 3

2

a，在Rt△CDP中，根据勾股定理得出PD²+CD²=CP²，从而得出含有a、b的式子，得出

b2

a2

=2-

3

，即可求得

a2+b2

a2-b2

=

3

．

解答：解：如图：过点P作PD⊥BC与点D，作PE⊥AC于点E，可得矩形PDCE，有PD=EC，PE=CD，
∵PC=PB，PD⊥BC，
∴DC=DB=

1

2

BC=

1

2

AC=

1

2

a，
∴PE=CD=

1

2

a，Rt△AEP中，AP=AC=a，PE=

1

2

a，
∴AE=

3

2

a，
∴EC=AC-AE=a-

3

2

a=

2- 3

2

a
∴PD=EC=

2- 3

2

a，
Rt△CDP中，PD²+CD²=CP²，
∴(

2- 3

2

a)2+(

a

2

)2=b²，
∴

7-4 3

4

a2+

1

4

a²=b²，
∴

7-4 3 +1

4

a²=b²，
∴(2-

3

)a2=b²
∴

b2

a2

=2-

3

，

a2+b2

a2-b2

=

1+ b2 a2

1- b2 a2

=

1+2- 3

1-(2- 3)

=

3- 3

3 -1

=

3

点评：本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用，用a、b表示PD、CD、CP是本题的关键．