Question

如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，连接AC交⊙O于D点，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，AD=2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）先连接OD和BD，根据切线的性质求出∠ABC=90°，根据三角形中位线性质求出OE∥AC，根据平行线的性质推出∠EOB=∠A，∠EOD=∠ODA，进而求得∠EOB=∠EOD，然后根据SAS求得△OBE≌△ODE（SAS），证得∠ODE=∠ABC=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）先求得△ODA是等边三角形，从而求得∠BOD=2∠A=120°，根据三角形全等的性质求得∠EOB=∠EOD=60°，进而求得∠OED=30°，根据30°的直角三角形的性质求得OE=2OD=4，EB=ED=

42-22

=2

3

，然后根据S_阴影=S_△BOE+S_△DOE-S_扇形OBD就可求得．

解答：证明：（1）连接OD，OE，
∵AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∵E为BC的中点，OA=OB，
∴OE∥AC，
∴∠EOB=∠A，∠EOD=∠ODA，
∵OA=OB，
∴∠ODA=∠A，
∴∠EOB=∠EOD，
在△OBE和△ODE中，

OB=OD ∠EOB=∠EOD OE=OE

，
∴△OBE≌△ODE（SAS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
∴DE是⊙O的切线．

（2）∵OA=OD，∠A=60°，
∴△ODA是等边三角形，
∴∠BOD=2∠A=120°，
∴∠EOB=∠EOD=60°，
∵∠ODE=90°，
∴∠OED=30°，
∴OE=2OD=4，EB=ED=

42-22

=2

3

，
∴S_阴影=S_△BOE+S_△DOE-S_扇形OBD=

1

2

×2×2

3

+

1

2

×2×2

3

-

120π×22

360

=

12 3 -4π

3

．

点评：本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，三角形全等的判定，解此题的关键是求出∠ODE=90°，注意：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．