Question

7．已知△ABC中，∠ABC=45°，AB=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，BC=12，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，线段AD，连接BD，求BD的长．

Answer 1

分析 如图作AM⊥BC垂足为M，DN⊥MA交MA的延长线于N，BE⊥DN交DN的延长线于E，易证明△ADN≌△CAM，四边形MNEB是矩形，在RT△EBD中求出BE，ED即可．

解答 解：如图作AM⊥BC垂足为M，DN⊥MA交MA的延长线于N，BE⊥DN交DN的延长线于E．
∵∠E=∠ENM=∠NMB=90°，
∴四边形MNEB是矩形，
BM=EN，EB=MN，
∵∠DAC=90°，
∴∠DAN+∠MAC=90°，
∵∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠DAN=∠ACM，
在△ADN和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNA=∠AMC}\\{∠DAN=∠ACM}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△CAM，
AM=DN，AN=CM．
在RT△ABM中，∵AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，∠ABM=45°，
∴BM=AM=$\frac{5}{2}$，MC=BC-BM=$\frac{19}{2}$，
在RT△BDE中，∵EB=MN=12，ED=5
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．