Question

2．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC、∠ACB的平分线AE、CF相交于点O．求证：
（1）OE=OF；
（2）AF+CE=AC．

Answer 1

分析 （1）在AC上取AF=AM，连接OE，根据三角形的内角和定理，可得出∠BAC+∠BCA=120°，由角平分线的定义可得出∠OAC+∠OCA=60°，再根据外角的性质得出∠AOF的度数；根据SAS证明△AOF≌△AOM，得出OM=OF，再根据ASA证明△COE≌△COM，得出OM=OE，从而得出OF=OE．
（2）由△COE≌△COM，得到CM=CE，又AF=AM，所以得到AC=AM+CM=AF+CE．

解答 解：（1）如图，在AC上取AF=AM，连接OE，

∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∵∠BAC、∠ACB的平分线AE、CF相交于点O，
∴∠BAC=2∠OAC，∠BCA=2∠OCA，
∴∠AOF=∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=60°；
∵∠BAC、∠ACB的平分线AE、CF相交于点O，
∴∠FAO=∠MAO，∠ECO=∠MCO，
在△FAO和△MAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AM}\\{∠FAO=∠MAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△FAO≌△MAO（SAS），
∴OM=OF，∠AOF=∠AOM=60°，
∴∠COE=∠COM=60°，
在△COE和△COM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECO=∠MCO}\\{OC=OC}\\{∠EOC=∠MOC}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△COM（ASA），
∴OM=OE，
∴OE=OF．
（2）∵△COE≌△COM，
∴CM=CE，
∵AF=AM，
∴AC=AM+CM=AF+CE．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，证明三角形全等．